ADC - 샘플링 이론 (6) 언더샘플링 전용 필터

언더샘플링 전용 대역통과 안티-앨리어싱 필터(Bandpass Antialiasing Filter)의 구체적인 천이 대역 규격 설계 메뉴얼

그림 2.35는 하한 주파수와 상한 주파수가 각각 f_1, f_2이며, 캐리어 주파수 f_c를 중심으로 제2 나이퀴스트 존에 완전히 갇혀 있는 신호를 보여줍니다.

이 경우 앤티-앨리어싱 필터는 대역통과 필터(Bandpass filter, BPF)입니다.

 

베이스밴드 샘플링에서는 DC(0 Hz)부터 신호가 시작되었으므로 고주파만 깎아내는 로우패스 필터(LPF)로 충분했습니다. 하지만 언더샘플링 환경에서는 내가 원하는 알짜배기 신호 대역이 f_1 ~ f_2라는 공중 무대(제2 나이퀴스트 존)에 떠 있습니다. 따라서 이 신호 구역을 지키려면 f_2보다 높은 고주파 노이즈뿐만 아니라, f_1보다 낮은 저주파 동네(제1 나이퀴스트 존 등)의 노이즈와 DC 오프셋까지 모두 잘라내야 하므로 반드시 대역통과 필터(BPF) 아키텍처가 강제됩니다.

 

상부 천이 대역(Upper transition band)은 f_2부터 2f_s - f_2까지이며,

하부 천이 대역(Lower transition band)은 f_1부터 f_s - f_1까지입니다.

 

베이스밴드 샘플링의 경우와 마찬가지로, 샘플링 주파수(f_s)를 비례적으로 증가시킴으로써 앤티-앨리어싱 필터의 요구조건을 완화할 수 있습니다. 다만, 신호가 항상 제2 나이퀴스트 존의 중심에 위치하도록 캐리어 주파수 f_c 역시 함께 증가시켜야 합니다.

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• f_c (Carrier Frequency): 고주파 대역통과 신호의 정중앙에 위치한 중심(반송파) 주파수.
• Δf (Bandwidth): 신호가 차지하는 순수 알짜배기 가로 폭(대역폭).

이 두 상수를 가지고 우리가 제어할 수 있는 변수인 샘플링 속도(f_s)와 타깃 나이퀴스트 존 번호(NZ)의 최적 조합을 찾아내는 것이 임무입니다.

 

나이퀴스트 조건 :

f_s > 2 Δf

언더샘플링 시스템에서 가장 먼저 만족해야 하는 절대적인 하한선입니다.

 

중심 주파수 정렬 공식 :

 

고주파에 있던 중심 주파수(f_c)가 샘플링을 거쳐 제1 나이퀴스트 존으로 접혀 내려올 때, 제1존의 정확한 정중앙에 안착하도록 강제하는 공식입니다. (NZ = 1, 2, 3, . . .)

EX)

일례로, 71 MHz의 반송파(중심) 주파수를 중심으로 하는 대역폭 4 MHz의 신호를 고려해 보겠습니다. 따라서 최소로 요구되는 샘플링 주파수는 8 MSPS입니다.

 

f_c = 71 MHz 및 f_s = 8 MSPS를 대입하여 NZ에 대해 풀면 NZ = 18.25가 도출됩니다.

그러나 NZ는 반드시 정수여야 하므로, 18.25를 바로 아래의 정수인 18로 내림합니다.

 

f_s에 대해 다시 풀면 f_s = 8.1143 MSPS가 도출됩니다. 따라서 최종 값은 f_s = 8.1143 MSPS, f_c = 71 MHz, 그리고 NZ = 18로 확정됩니다.

 

이제 앤티-앨리어싱 필터에 대한 마진을 더 확보하기를 원하여, f_s를 10 MSPS로 선택한다고 가정해 보겠습니다. f_c = 71 MHz 및 f_s = 10 MSPS를 대입하여 NZ에 대해 풀면 NZ = 14.7이 도출됩니다.

 

바로 아래의 정수로 내림하면 NZ = 14

 

f_s에 대해 다시 풀면 f_s = 10.519 MSPS가 도출됩니다. 따라서 최종 값은 f_s = 10.519 MSPS, f_c = 71 MHz, 그리고 NZ = 14로 확정됩니다.