ADC - 샘플링 이론(4) Baseband Antialiasing Filters

베이스밴드 샘플링(Baseband sampling)은 샘플링하고자 하는 타깃 신호가 제1 나이퀴스트 존(First Nyquist zone) 내에 온전히 존재함을 의미합니다.

신호가 0 Hz(DC) 근처부터 시작하여 나이퀴스트 한계선인 f_s/2 아래에 예쁘게 정렬해 있는 가장 클래식한 샘플링 환경입니다.

 

입력단에 아무런 필터링을 하지 않은 채 이상적인 샘플러를 구동할 경우, 그 어떤 나이퀴스트 존에서든 나이퀴스트 대역폭(제1존) 외부에 떨어지는 모든 주파수 성분(신호든 잡음이든 상관없이)이 제1 나이퀴스트 존 내부로 거꾸로 접혀 들어와 앨리어싱(Aliased back)을 일으킨다는 점을 명심해야 합니다.

바깥세상(제2, 제3, 제4 ... 무한대 고주파 존)에 굴러다니는 열잡음이나 전원선 스위칭 노이즈, 인접 클록 방해 신호들은 필터가 없다면 샘플링 스위치가 닫히는 찰나에 전부 제1존의 내 소중한 신호 대역 위로 겹겹이 포개져(Folding) 내려앉습니다. 아날로그단에서 미리 걸러내지 않으면 디지털 단에서는 이 잡음들을 분리해 낼 방법이 원천 차단됩니다.

 

이러한 이유 때문에, 거의 모든 샘플링 ADC 응용 분야에서는 원치 않는 신호들을 제거하기 위해 앤티-앨리어싱 필터(AAF)를 필수적으로 사용합니다.

 

첫 번째 단계는 샘플링할 신호의 고유 특성을 파악하는 것입니다. 우리가 관심을 갖는 가장 높은 신호 주파수를 f_a라고 가정해 봅시다. 앤티-앨리어싱 필터는 DC부터 f_a까지의 신호는 그대로 통과시키고, f_a를 초과하는 신호는 감쇄시킵니다. 여기서는 필터의 차단 주파수(Corner frequency)가 f_a와 동일하게 선택되었다고 가정합니다. (센서나 안테나에서 들어오는 유효한 신호의 마지노선 주파수를 f_a로 잡고, 아날로그 로우패스 필터(LPF)의 -3 dB 차단 주파수 역시 이 f_a에 딱 맞춰 설계를 플래닝한 상황)

 

최소 감쇄(통과 대역)에서 최대 감쇄(차단 대역)로 넘어가는 현실적인 '유한한 천이 대역(Finite transition)'이 시스템의 다이내믹 레인지(Dynamic Range)에 미치는 영향

칼로 두부 자르듯 f_a 지점에서 수직으로 뚝 떨어지는 이상적인 '벽돌형 필터(Brick-wall Filter)'는 자연계에 존재할 수 없습니다. 현실의 아날로그 필터는 f_a를 지나면서부터 완만한 곡선을 그리며 서서히 감쇄가 깊어지는 '천이 대역(Transition Band)'을 필연적으로 가집니다. 이 기울기(Slope) 때문에 발생하는 시스템 설계의 딜레마를 그림 2.32A가 보여줍니다.

 

앞서 앨리어싱 공식을 배울 때 고주파 노이즈가 제1존 안으로 미끄러져 들어오는 첫 관문이 f_s - f_a라고 했습니다. 즉, f_s - f_a 지점에 서 있는 고주파 노이즈는 샘플링되는 순간 정확히 내 소중한 최고 신호 주파수인 f_a 바로 위로 겹쳐 타버립니다.

 

외부에 돌아다니는 고주파 노이즈가 너무 크면(Full-scale components), 샘플링 직후 내 소중한 베이스밴드 신호 구역(0 ~ f_a)을 뚫고 들어와 밑바닥에 잡음 융단(Noise Floor)을 깔아버립니다. 일단 디지털로 넘어오면 이 유령 노이즈와 진짜 신호는 수학적으로 완벽히 동일한 디지털 코드 형태를 띠므로 '절대 구별할 수 없습니다'. 이 노이즈의 높이가 결국 시스템이 가질 수 있는 순수한 신호 대 잡음비, 즉 다이내믹 레인지(DR)의 한계선을 강제로 결정짓게 됩니다.

 

나이퀴스트 주파수(f_s/2)를 기준으로 앤티-앨리어싱 필터의 규격을 정할 것을 권장하지만, 이는 우리가 관심 있는 신호 대역폭이 DC부터 f_s/2까지 꽉 차서 확장되어 있다는 전제하에 나온 말이며 실제로는 그런 경우가 거의 없습니다

그림 2.32A에 나타난 예시에서, f_a와 f_s/2 사이에 떨어지는 앨리어싱 성분들은 우리가 관심 없는 영역이므로 다이내믹 레인지를 제한하지 않습니다. 따라서 안티-앨리어싱 필터의 천이 대역(Transition band)은 차단 주파수인 f_a, 저지대역 주파수인 f_s - f_a, 그리고 목표로 하는 저지대역 감쇄량인 DR에 의해 결정됩니다.

 

다른 모든 조건이 동일할 때, 천이 대역이 급격해질수록 필터는 더욱 복잡해집니다. 예를 들어, 버터워스(Butterworth) 필터는 필터의 폴(Pole, 극점)당 옥타브(Octave, 주파수가 2배가 되는 구간)당 6 dB의 감쇄량을 제공합니다(모든 필터가 그러하듯)

만약 1 MHz에서 2 MHz 사이의 천이 영역(정확히 1 옥타브 구간) 안에서 60 dB의 감쇄량을 달성하려면 최소 10개의 폴(10-pole)이 필요합니다. 이는 결코 사소한(Trivial) 필터가 아니며, 분명히 거대한 설계 장벽(Design challenge)입니다.

즉, 아날로그 단독으로 이런 칼날 필터를 만드는 것은 지옥문 여는 일입니다.

 

이 논의를 통해, 우리는 앤티-앨리어싱 필터의 천이 대역 급격함(Sharpness)과 ADC 샘플링 주파수 사이에 어떤 트레이드오프(Trade-off)가 성립하는지 알 수 있습니다. 더 높은 샘플링 속도를 선택하는 것(오버샘플링, Oversampling)은 더 빠른 속도의 ADC를 사용하고 데이터를 더 빠른 속도로 처리해야 한다는 대가를 치르는 대신, 천이 대역의 급격함에 대한 요구조건(즉, 필터의 복잡성)을 획기적으로 완화해 줍니다.

이는 동일한 아날로그 차단 주파수 f_a와 동일한 다이내믹 레인지(DR) 요구조건을 유지하면서 샘플링 주파수를 K배만큼 증가시켰을 때의 효과를 보여주는 그림 2.32B에 잘 나타나 있습니다. 넓어진 천이 대역(f_a부터 Kf_s - f_a까지) 덕분에 이 필터는 그림 2.32A의 경우보다 설계하기가 훨씬 수월해집니다.

 

두 아키텍처의 수학적 가로대역 비교

• 나이퀴스트 샘플링 (Figure 2.32A):
  {Transition Bandwidth} = f_s - 2f_a
  앞서 보았듯 f_s가 f_a에 바짝 붙어있어 가로 폭이 극도로 좁고, 10-pole 짜리 지옥의 아날로그 필터가 요구됩니다.
• K배 오버샘플링 (Figure 2.32B):
  {Oversampled Transition Bandwidth} = (Kf_s - f_a) - f_a = Kf_s - 2f_a
• 샘플링 속도를 K * f_s 로 크게 높여버리면, 첫 번째 유령 노이즈가 접혀 들어오는 저격 좌표가 f_s - f_a 에서 무려 Kf_s - f_a 지점으로 껑충 도망가 버립니다. 따라서 필터가 숨을 쉴 수 있는 천이 대역폭은 다음과 같이 무지막지하게 확장됩니다.

예를 들어 K=10(10배 오버샘플링)을 주면, 천이 대역의 폭이 기존보다 거의 10배 가까이 태평양처럼 넓어집니다.

 

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결론 

고속 데이터 컨버터 시스템 설계의 위대한 패러다임 전환을 보여줍니다. 아날로그단에서 칼날 같은 고차수 필터(10-pole 등)를 설계하느라 전력과 면적을 탕진하는 대신, 디지털 클록 속도를 K배 높이는 '오버샘플링'을 도입하여 필터의 천이 대역폭을 Kf_s - 2f_a 로 대폭 확장함으로써, 아날로그 프론트엔드의 설계 복잡도를 극한으로 낮추고 시스템 전체의 수율과 선형성을 확보하는 현대 믹스드 시그널 반도체의 핵심 아키텍처 전략입니다.