ADC - 샘플링 이론(3) 나이퀴스트 정리(The Nyquist Criteria)

연속적인 아날로그 신호는 일정한 이산 시간 간격 t_s = 1/f_s 마다 샘플링되며, 원본 아날로그 신호를 정확하게 표현하기 위해서는 이 간격을 신중하게 선택해야 합니다.

 

샘플을 더 많이 채집할수록(샘플링 속도가 빠를수록) 디지털 표현이 더 정확해지는 것은 자명하지만, 샘플을 너무 적게 채집하면(샘플링 속도가 느려지면) 신호에 대한 핵심 정보가 실제로 유실되는 지점에 도달하게 됩니다.

 

 

간단히 말해, 나이퀴스트 기준(Nyquist criteria)은 샘플링 주파수가 신호에 포함된 최고 주파수의 최소 2배 이상이 될 것을 요구하며, 그렇지 않으면 신호에 대한 정보가 유실됩니다.

 

만약 샘플링 주파수가 최대 아날로그 신호 주파수의 2배보다 작으면, 앨리어싱(Aliasing, 주파수 중첩)이라고 알려진 현상이 발생합니다.

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그림 2.30의 파형을 보면 원래 신호(f_a)는 매우 가파르게 진동하고 있습니다. 그런데 샘플링 클록(f_s)이 신호보다 겨우 아주 조금 더 빠르다 보니, 한 주기마다 샘플링 스위치가 닫히는 타이밍이 원래 사인파의 위상(Phase)보다 아주 미세하게만 전진하며 찍히게 됩니다. 이 찍힌 점(검은 점)들만 부드럽게 이어 붙여보면, 원래의 촘촘한 고주파 파형은 온데간데없고 엄청나게 느리게 출렁이는 저주파 사인파의 윤곽(Envelope)이 새롭게 형성됩니다. 이것이 시간 도메인에서 목격되는 앨리어싱의 실체이며, 이 가짜 파형의 주파수를 역산해 보면 정확히 두 주파수의 차이인 f_s - f_a가 됩니다.

 

주파수 도메인에서의 정상 샘플링 (Figure 2.31A)

이제 이상적인 임펄스 샘플러에 의해 주파수 f_s로 샘플링되는 주파수 f_a의 단일 주파수 사인파의 경우를 고려해 보겠습니다(그림 2.31A 참조). 또한 그림에 표시된 대로 f_s > 2f_a라고 가정합니다. 샘플러의 주파수 도메인 출력은 f_s의 모든 정수 배 주변에서 원본 신호의 앨리어싱 성분 또는 이미지(Images)들을 보여주며, 그 위치는 | ± Kf_s ± f_a|, K = 1, 2, 3, 4, ... 와 같은 주파수 지점입니다. (진짜 신호 f_a 외에도 f_s, 2f_s, 3f_s 등 클록 주파수의 정수 배 지점마다 좌우 대칭으로 똑같이 생긴 유령 복사본들이 무한히 생성됩니다.)

 

• K=1일 때, 첫 번째 이미지들은 f_s - f_a와 f_s + f_a에 위치합니다.
• 그림 2.31A를 보면 나이퀴스트 통제선인 f_s/2보다 진짜 신호 f_a가 훨씬 왼쪽에 안전하게 머물고 있으므로, f_s의 복사본 날개(f_s - f_a)가 제1 나이퀴스트 존을 침범하지 않아 아무런 간섭이 없습니다.

주파수 도메인에서의 앨리어싱 붕괴 (Figure 2.31B)

나이퀴스트 정리를 위반한 시나리오에 대응하는 주파수 도메인 표현은 그림 2.31B에 나와 있습니다.

그림 2.31B는 시간축의 그림 2.30을 주파수 축으로 고스란히 옮겨놓은 것입니다.

입력 신호 f_a가 너무 고주파로 우상향하여 급기야 제한선인 f_s/2를 훌쩍 넘어가 버렸습니다.

f_s에서 왼쪽으로 뻗어 나오던 첫 번째 복사본의 좌표인 f_s - f_a 가 f_s/2 방어선을 깨고 제1 나이퀴스트 존(f_s/2) 안으로 깊숙이 침투해 들어오게 됩니다.

이렇게 되자, f_s에서 왼쪽으로 뻗어 나오던 첫 번째 복사본의 좌표인 f_s - f_a 가 f_s/2 방어선을 깨고 제1 나이퀴스트 존(0~f_s/2) 안으로 깊숙이 침투해 들어오게 됩니다.

디지털 필터나 DSP 코어는 오직 0 ~ f_s/2 영역만 돋보기로 들여다보고 있기 때문에, 이 침범한 이미지 성분을 '원래 입력단에 들어온 저주파 신호'인 줄 알고 그대로 처리해 버립니다. 이것이 주파수 도메인에서 앨리어싱이 시스템을 오염시키는 수학적 매커니즘입니다.

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나이퀴스트 대역폭(Nyquist bandwidth)은 DC(0 Hz)부터 f_s/2까지의 주파수 스펙트럼으로 정의됩니다. 주파수 스펙트럼은 그림에 나타난 바와 같이 각각 0.5f_s와 동일한 폭을 갖는 무한한 개수의 나이퀴스트 존(Nyquist zones)으로 분할됩니다.

 

실제 실무에서는 이상적인 샘플러 대신 ADC가 사용되며, 그 뒤에 FFT(고속 푸리에 변환) 프로세서가 뒤따릅니다. FFT 프로세서는 오직 DC부터 f_s/2까지의 출력, 즉 제1 나이퀴스트 존에 나타나는 신호나 앨리어싱 성분들만을 제공합니다.

 

이제 제1 나이퀴스트 존 외부에 신호가 존재하는 경우를 고려해 보겠습니다(그림 2.31B). 이 신호 주파수는 샘플링 주파수보다 아주 약간 낮으며, 이는 그림 2.30의 시간 도메인 표현에서 보여준 조건과 일치합니다. 신호가 제1 나이퀴스트 존 외부에 존재할지라도, 그 이미지(또는 앨리어스)인 f_s - f_a는 제1존 내부로 떨어진다는 점에 주목하십시오.