ADC - 샘플링 이론(5) 언더샘플링(Undersampling, 하모닉 샘플링 / 대역통과 샘플링)

지금까지 우리는 모든 관심 신호가 제1 나이퀴스트 존 내에 존재하는 케이스인 베이스밴드 샘플링을 고려했습니다. 그림 2.34A는 샘플링된 신호 대역이 제1 나이퀴스트 존으로 제한되고, 원래 주파수 대역의 이미지(복사본)들이 다른 모든 나이퀴스트 존에 나타나는 가 장 클래식한 케이스를 보여줍니다.

 

샘플링된 신호 대역이 완전히 제2 나이퀴스트 존(0.5f_s ~ f_s) 내에 존재하는 그림 2.34B의 케이스를 고려해 봅시다. 제1 나이퀴스트 존 외부의 신호를 샘플링하는 이 프로세스를 흔히 언더샘플링(Undersampling) 또는 하모닉 샘플링(Harmonic sampling)이라고 부릅니다. 제1 나이퀴스트 존에 떨어지는 이미지 성분은 원래 위치를 제외하고는 원본 신호의 모든 정보를 그대로 포함하고 있습니다.

(스펙트럼 내부의 주파수 성분 순서가 반대로 뒤집히는 '주파수 반전'이 일어나지만, 이는 FFT 출력의 순서를 다시 정렬함으로써 매우 쉽게 교정할 수 있습니다.)

• 진짜 신호가 제2존(0.5f_s ~ f_s)에 갇혀 있습니다. 샘플링 속도(f_s)가 신호의 절대 주파수보다 한참 느리기 때문에 이름이 '언더샘플링'입니다.
• 앨리어싱 법칙에 의해 이 신호는 제1존 내부로 접혀 내려옵니다. 정보의 유실은 전혀 없습니다. 다만, 종이를 반으로 접은 것이기 때문에 스펙트럼의 좌우 방향(기울기)이 거꾸로 뒤집히는 스펙트럼 인버전(Spectral Inversion)이 터집니다. 고주파 성분이 저주파로 가고, 저주파 성분이 고주파로 가지만, 디지털 단(DSP)에서 FFT 인덱스 순서만 코드 한 줄로 슥 바꿔주면 끝나는 일이라 하드웨어적으로 아무런 문제가 안 됩니다.

 

그림 2.34C는 샘플링된 신호가 제3 나이퀴스트 존(f_s ~ 1.5f_s)으로 제한된 경우를 보여줍니다. 제1 나이퀴스트 존으로 떨어지는 이미지 성분에 주파수 반전(뒤집힘)이 발생하지 않는다는 점에 주목하십시오. 사실, 샘플링된 신호 주파수는 그 어떤 고유한 나이퀴스트 존에 위치해도 상관없으며, 제1존에 떨어지는 이미지는 여전히 원본의 정확한 표현입니다. (신호가 짝수 나이퀴스트 존에 위치할 때 발생하는 주파수 반전 현상만 예외로 하고 말이죠.)

신호가 제3존에 가 있을 때는 거울에 두 번 반사된 꼴(제3존->제2존->제1존)이 되기 때문에, 뒤집혔던 스펙트럼이 다시 똑바로 돌아옵니다(정방향 매핑).

 

이 시점에서 우리는 나이퀴스트 기준을 완벽하게 재정의할 수 있습니다. "신호의 모든 정보를 보존하기 위해서는, 신호가 가진 '절대적인 최고 주파수'가 아니라 오직 '순수 대역폭(Bandwidth)'의 최소 2배 이상에 해당하는 속도로 샘플링해야 한다."

 

샘플링 주파수와 대비하여 주파수 스펙트럼 내에서 샘플링된 신호 대역이 위치하는 '절대적인 물리적 위치'에 대한 언급이 전혀 없다는 점에 주목하십시오.

유일한 제약 조건은 샘플링된 신호 대역이 단 하나의 단독 나이퀴스트 존 내부에만 갇혀 있어야 한다는 것입니다.

 

f_s > 2 * Bandwidth

 

신호가 저 높은 10 GHz 무대에서 놀고 있더라도, 그 신호가 차지하는 순수 알짜배기 대역폭(가로 폭)이 고작 10 MHz 뿐이라면, ADC 클록을 무리하게 20 GHz로 설계할 필요가 전혀 없습니다. 그냥 10 MHz의 2배인 20 Msps 넘는 합리적인 클록 속도만으로 샘플링해도 제1 나이퀴스트 존 안으로 신호 정보가 털끝 하나 다치지 않고 안전하게 다운컨버전되어 내려오기 때문입니다.

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결론 : 대역 한정 신호를 다룰 때, 절대적인 주파수 크기에 쫄 필요 없이 오직 '알짜배기 가로 폭(Bandwidth)'만 통제하면 된다